Tính thể tích khối tròn xoay xoay quanh ox

Bài viết giải đáp phương pháp vận dụng tích phân để tính thể tích khối tròn luân chuyển Khi xoay quanh Ox hình phẳng số lượng giới hạn bởi ít nhất hai đường cong, đó là dạng toán hay gặp gỡ vào công tác Giải tích 12.

Bạn đang xem: Tính thể tích khối tròn xoay xoay quanh ox

I. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý1. Phương thơm pháp chungĐưa về tổng hoặc hiệu thể tích các kân hận tròn luân phiên giới hạn do một con đường cong với trục $Ox$, xoay quanh $Ox.$

2. Chụ ýa) Cho hình phẳng giới hạn vị vật dụng thị các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ tiếp tục bên trên đoạn $$ ($f(x)g(x) ge 0$, $forall x in $) cùng hai tuyến phố trực tiếp $x = a$, $x = b$ xoay quanh $Ox$ ta được khối tròn xoay rất có thể tích là: $V = pi int_a^b left .$b) Cho hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì thiết bị thị những hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ thường xuyên bên trên đoạn $$ ($f(x)g(x) ge 0$, $forall x in $), quay quanh $Ox$ ta được kăn năn tròn xoay hoàn toàn có thể tích là: $V = pi int_alpha ^eta dx $, trong những số ấy $altrộn $, $eta $ theo thứ tự là nghiệm nhỏ dại độc nhất vô nhị cùng lớn nhất của phương thơm trình $f(x) = g(x).$

3. cũng có thể vẽ những vật dụng thị để tìm ra công thức tính thể tích kân hận tròn luân phiên tạo ra thành do hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng nhiều đường cong xoay quanh $Ox.$Sau đó là một số ví dụ minc họa về công thức tính thể tích khối tròn xoay vì hình phẳng được gạch ốp chéo cánh xoay quanh $Ox.$

$V = pi int_a^b left< f^2(x) – g^2(x) ight>dx .$

$V = pi int_a^b left< g^2(x) – f^2(x) ight>dx .$

$V = pi int_a^b g^2 (x)dx.$

$V = pi int_a^c left< f^2(x) – g^2(x) ight>dx $ $ + pi int_c^b left< g^2(x) – f^2(x) ight>dx .$

$V = pi int_a^b f^2 (x)dx + pi int_a^b g^2 (x)dx.$

$V = pi int_a^c left< g^2(x) – h^2(x) ight>dx $ $ + pi int_c^b left< f^2(x) – h^2(x) ight>dx .$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAlấy ví dụ như 1: Điện thoại tư vấn $V$ là thể tích kăn năn tròn xoay tạo thành thành Khi mang lại hình phẳng số lượng giới hạn vị thứ thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ với hai đường trực tiếp $x=a$, $x=b$ (phần gạch ốp chéo vào hình vẽ bên) quay quanh $Ox.$

Khẳng định như thế nào sau đây là đúng?A. $V = int_a^b dx .$B. $V = int_a^b f^2(x) – g^2(x) ight .$C. $V = pi int_a^b left< f^2(x) + g^2(x) ight>dx .$D. $V = pi int_a^b left< f^2(x) – g^2(x) ight>dx .$

Lời giải:Từ vật dụng thị ta có: $V = pi int_a^b f^2 (x)dx – pi int_a^b g^2 (x)dx$ $ = pi int_a^b left< f^2(x) – g^2(x) ight>dx .$Chọn đáp án D.

lấy ví dụ 2: gọi $V$ là thể tích khối tròn chuyển phiên chế tác thành Lúc mang đến hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì trang bị thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ với hai tuyến đường trực tiếp $x= a$, $x=b$ (phần gạch ốp chéo cánh trong hình vẽ bên) xoay quanh $Ox.$

Khẳng định như thế nào sau đấy là sai?A. $V = pi int_a^b f^2(x) – g^2(x) ight .$B. $V = pi int_a^c left< f^2(x) – g^2(x) ight>dx $ $ + pi int_c^b left< g^2(x) – f^2(x) ight>dx .$C. $V = pi int_a^c f^2(x) – g^2(x) ight $ $ + pi int_c^b f^2(x) – g^2(x) ight $D. $V = pi int_a^b left< f^2(x) – g^2(x) ight>dx .$

Lời giải:$V = pi int_a^b left $ $ = pi int_a^c left $ $ + pi int_c^b dx .$$ = pi int_a^c dx $ $ + pi int_c^b f^2(x) – g^2(x) ight .$Chọn đáp án C.

ví dụ như 3: hotline $V$ là thể tích khối hận tròn xoay tạo thành thành Khi mang lại hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường trực tiếp $x = a$, $x=b$ (phần gạch ốp chéo trong mẫu vẽ bên) xoay quanh $Ox.$

Khẳng định nào sau đây là đúng?A. $V = pi int_a^b dx .$B. $V = pi int_a^b left< f^2(x) – g^2(x) ight>dx .$C. $V = pi int_a^b f^2 (x)dx.$D. $V = pi int_a^b g^2 (x)dx.$

Lời giải:Từ vật dụng thị ta suy ra: $V = pi int_a^b f^2 (x)dx.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 4: Điện thoại tư vấn $V$ là thể tích khối tròn luân chuyển tạo ra thành lúc mang lại hình phẳng giới hạn vày đồ gia dụng thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ cùng trục hoành (phần gạch chéo cánh trong mẫu vẽ bên) xoay quanh $Ox.$

Khẳng định như thế nào sau đây là đúng?A. $V = pi int_a^b left .$B. $V = pi int_a^b left< – f^2(x) – g^2(x) ight>dx .$C. $V = pi int_a^b left< f^2(x) – g^2(x) ight>dx .$D. $V = pi int_a^b left< f^2(x) + g^2(x) ight>dx .$

Lời giải:Từ trang bị thị ta suy ra: $V = pi int_a^b f^2 (x)dx + pi int_a^b g^2 (x)dx$ $ = pi int_a^b left< f^2(x) + g^2(x) ight>dx .$Chọn câu trả lời D.

lấy ví dụ như 5: Gọi $V$ là thể tích khối tròn luân phiên sinh sản thành Khi đến hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị tía hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch men chéo cánh vào mẫu vẽ bên) xoay quanh $Ox.$

Khẳng định như thế nào sau đây là đúng?A. $V = pi int_a^b f^2(x) – g^2(x) ight $ $ + pi int_b^c dx .$B. $V = pi int_a^b left< f^2(x) – h^2(x) ight>dx $ $ + pi int_b^c left< h^2(x) – g^2(x) ight>dx .$C. $V = pi int_a^b left< f^2(x) – h^2(x) ight>dx $ $ + pi int_b^c left< g^2(x) – h^2(x) ight>dx .$D. $V = pi int_a^b dx $ $ + pi int_b^c h^2(x) – g^2(x) ight .$

Lời giải:Từ đồ vật thị ta suy ra: $V = pi int_a^b left< f^2(x) – h^2(x) ight>dx $ $ + pi int_b^c left< g^2(x) – h^2(x) ight>dx .$Chọn đáp án C.

Xem thêm:

lấy ví dụ 6: Thể tích khối tròn xoay chế tác thành khi mang đến hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng các đường $y = x^2$, $y = 4$ xoay quanh $Ox$ bằng:A. $V = frac64pi 5.$B. $V = frac128pi 5.$C. $V = frac256pi 5.$D. $V = 32pi .$

Lời giải:Tìm hoành độ giao điểm: $x^2 = 4 Leftrightarrow x = pm 2.$Thể tích: Ta có $4x^2 ge 0$, $forall x in < – 2;2>$ nên:$V = pi int_ – 2^2 left = frac256pi 5.$Chọn lời giải C.

lấy ví dụ 7: Thể tích khối hận tròn luân chuyển chế tác thành lúc đến hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng các con đường $y = e^2x$, $y = e^x$, $x = 0$, $x = 1$ xoay quanh $Ox$ bằng?A. $V = pi left( frac14e^4 – frac12e^2 + frac14 ight).$B. $V = pi left( frac14e^4 – frac12e^2 ight).$C. $V = pi left( frac14e^4 + frac12e^2 – frac23e^3 + frac1112 ight).$D. $V = pi left( frac14e^4 + frac12e^2 – frac23e^3 ight).$

Lời giải:Ta có:$e^2x.e^x > 0$, $forall x in <0;1>.$$e^4x = e^2x Leftrightarrow x = 0.$Thể tích: $V = pi int_0^1 left $ $ = pi left| int_0^1 left( e^4x – e^2x ight)dx ight|.$$ = pi left| left. left( frac14e^4x – frac12e^2x ight) ight ight|$ $ = pi left( frac14e^4 – frac12e^2 + frac14 ight).$Chọn đáp án A.

lấy một ví dụ 8: Thể tích khối hận tròn luân chuyển chế tác thành lúc mang đến hình phẳng số lượng giới hạn vày các đường $y = e^x$, $y = 2$, $x = 0$ xoay quanh $Ox$ bằng?A. $V = pi left( 4ln 2 – frac52 ight).$B. $V = pi left( 4ln 2 – frac32 ight).$C. $V = pi left( 4ln 2 – frac12 ight).$D. $V = 4pi ln 2.$

Lời giải:Tìm hoành độ giao điểm: $e^x = 2$ $ Leftrightarrow x = ln 2$, $2.e^x > 0$, $forall x in <0;ln 2>.$Thể tích:$V = pi int_0^ln 2 left $ $ = pi left| int_0^ln 2 left( 4 – e^2x ight)dx ight|$ $ = pi left| _0^ln 2 ight|$ $ = pi left( 4ln 2 – frac32 ight).$Chọn đáp án B.

ví dụ như 9: Thể tích khối hận tròn xoay sản xuất thành lúc đến hình phẳng số lượng giới hạn do những đường $y = e^x$, $y = 2$, $x = 1$ xoay quanh $Ox$ bởi $pi left( a + bln 2 + frace^2c ight)$ cùng với $a$, $b$, $c$ là những số ngulặng. Tính $S=a+2b+c.$A. $S=-4.$B. $S=-2.$C. $S=2.$D. $S=4.$

Lời giải:Tìm hoành độ giao điểm:$e^x = 2$ $ Leftrightarrow x = ln 2.$$2.e^x > 0$, $forall x in .$Thể tích:$V = pi int_ln 2^1 dx $ $ = pi left| int_ln 2^1 left( 4 – e^2x ight)dx ight|$ $ = pi left| _ln 2^1 ight|$ $ = pi left( – 6 + 4ln 2 + frace^22 ight).$$ Rightarrow a = – 6$, $b = 4$, $c = 2$ $ Rightarrow S = a + 2b + c = 4.$Chọn đáp án D.

lấy một ví dụ 10: Thể tích kăn năn tròn luân chuyển chế tạo thành Khi mang đến hình phẳng số lượng giới hạn vị những đường $y = sin x$, $y = cos x$, $x = 0$, $x = fracpi 2$ quay quanh $Ox$ bằng $a + bpi $ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $S = b^2018 – a^2018 + a + b.$A. $S=0.$B. $S=1.$C. $S=2.$D. $S=3.$

Lời giải:Tìm hoành độ giao điểm:$left{ eginarray*20lsin x = cos x\x in left< 0;fracpi 2 ight>endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4.$$sin xcos x ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>.$Thể tích: $V = pi int_0^fracpi 2 left $ $ = pi int_0^fracpi 2 | cos 2x|dx.$$ = pi left| int_0^fracpi 4 cos 2xdx ight| + pi left| int_fracpi 4^fracpi 2 cos 2xdx ight|$ $ = pi left| left. fracsin 2x2 ight ight| + pi left| left. fracsin 2x2 ight ight| = pi .$$ Rightarrow a = 0$, $b = 1$ $ Rightarrow S = b^2018 – a^2018 + a + b = 2.$Chọn lời giải C.

lấy ví dụ như 11: Thể tích khối hận tròn luân phiên chế tạo thành Khi mang lại hình phẳng giới hạn vì những đường $y = sin ^2x$, $y = cos ^2x$, $x = 0$, $x = fracpi 8$ quay quanh $Ox$ bởi $fracabpi sqrt 2 $ cùng với $a$, $b$ là các số nguim dương cùng $fracab$ là phân số về tối giản. Tính $S = a^2 + 3b.$A. $S=7.$B. $S=11.$C. $S=12.$D. $S=13.$

Lời giải:Tìm hoành độ giao điểm:$left{ eginarray*20lsin ^2x = cos ^2x\x in left< 0;fracpi 8 ight>endarray ight.$ $ Leftrightarrow x in emptyphối .$$sin ^2x.cos ^2x ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 8 ight>.$Thể tích: $V = pi int_0^fracpi 8 cos ^4x – sin ^4x ight $ $ = pi left| int_0^fracpi 8 cos 2xdx ight|$ $ = pi left| left. fracsin 2x2 ight ight|$ $ = fracpi sqrt 2 4.$$ Rightarrow a = 1$, $b = 4$ $ Rightarrow S = a^2 + 3b = 13.$Chọn câu trả lời D.

ví dụ như 12: Thể tích khối hận tròn luân chuyển tạo thành Khi mang lại hình phẳng giới hạn vày những mặt đường $y = x^2$, $y = x + 2$ quay quanh $Ox$ bằng $fracabpi $ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên dương và $fracab$ là phân số về tối giản. Tính $S = a – b^3.$A. $S=-22.$B. $S=-1.$C. $S=1.$D. $S=22.$

Lời giải:Tìm hoành độ giao điểm:$x^2 = x + 2$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2endarray ight..$$x^2(x + 2) ge 0$ $forall x in < – 1;2>.$Thể tích: $V = pi int_ – 1^2 left = frac725pi $ $ Rightarrow a = 72$, $b = 5$ $ Rightarrow S = a – 2b^2 = 22.$Chọn giải đáp D.

lấy ví dụ như 13: Thể tích kăn năn tròn xoay chế tác thành Lúc cho hình phẳng giới hạn do những đường $x = y^2$, $y = x$ quay quanh $Ox$ bằng $fracabpi $ với $a$, $b$ là những số nguyên ổn dương cùng $fracab$ là phân số tối giản. Tính khoảng cách $h$ từ bỏ điểm $M(a;b)$ đến đường trực tiếp $Delta